科普：CFMM（恆定函數做市商）的演變

在傳統金融市場上，每種證券都需要一個买方和賣方市場才能有效地進行交易。如今，股票交易的速度和簡便性被視為理所當然，尤其是在新引入的Robinhood投資模式下。在這個新時代，做市商扮演着舉足輕重的角色，為市場參與者創造了無縫的交易體驗。在過去的一年裏，做市商這個角色以名為自動化做市商（AMMs）的算法代理的形式移植到加密生態系統中。

AMMs執行的功能與傳統做市商相同，促進兩種數字資產之間的交易。然而，在智能合約裏不是由大銀行或交易公司來做市，而是通過算法做市。與傳統的做市商依靠大量資源提供嚴格的买賣價差不同，AMMs重新定義了提供流動性的方式，並應用數學公式來決定資產交易的價格。

恆定函數做市商

恆定函數做市商（CFMM）是最流行的AMM系列。當交易者希望將代幣A換成代幣B時，這種AMM會使用恆定函數作為其定價機制。在這種情況下，術語 "恆定函數 "指的是資產儲備的乘積必須在發生任意交易時都保持不變。

自2017年以來，針對不同使用案例的優化，一些DEX已經把這個恆定函數進行了修改。下面將介紹一些最流行的DEX，並詳細介紹其採用的恆定函數。

Uniswap

Uniswap是第一個讓使用恆定函數（來交換兩種資產）變得流行的DEX。它使用了一種被稱為 "恆定乘積AMM "的AMM變體，它強制要求兩種資產儲備量的乘積必須始終保持不變。

在這個等式中，x和y代表流動性池中兩種資產的單位數量。舉例說明，假設ETH/DAI池包含100 ETH（x的值）和10,000 DAI（y的值）。在這個例子中，Uniswap將這兩個數量相乘，得到k的值為1,000,000。現在的目標是保持k值恆定，而不考慮對流動性池的交易量。做到這一點的唯一方法是，x和y的數量反向變化。換句話說，當x的數量增加時（交易者將ETH加入池中），y的數量必須減少（交易者將DAI從池中取出）。最終，任何給定交易所的報價都是常量乘積公式和池中代幣比例的函數。

需要注意的是，x和y之間的關系不是线性的。用10個ETH兌換1000個DAI不等於用20個ETH兌換2000個DAI。相反，這種關系是漸近式的。這意味着隨着花費的代幣數量增加，收到的代幣數量會變小。

恆定乘積函數的特性對AMMs很有用，因為它確保了當任何一種資產的價格接近無窮大時，總會有流動性。

Balancer

Balancer的AMM一般化了Uniswap的恆定乘積功能，創造了一個被稱為 "恆定平均AMM"的變體。這個AMM的核心是價值函數，它強制規定資產池中的資產余額的權重次冪的乘積應始終保持不變。

在這個公式中，t代表池中的資產的種類數，Bt是資產數量，Wt是資產權重。雖然與Uniswap簡單易懂的常量乘積函數相比，數學公式看起來要復雜得多，但其實很容易理解。例如，假設用戶創建了一個Balancer Pool，其中包含三種資產：100 ETH、100 BTC和100,000 DAI，每種資產的權重為33.3%。Balancer對這些數值進行如下處理：

類似於Uniswap，目標是在保持資產權重不變的情況下，只改變資產余額，從而保持k不變。在3種資產Balancer Pool的情況下，交易可以發生在三個資產中的任意兩個之間。用戶可以用ETH交換DAI，用ETH交換BTC，或者用DAI交換ETH。通過保持k的值不變，可以在三種資產之間生成一個價值面。

有趣的是，這個曲面與Uniswap的常量乘積函數並沒有太大區別。另一種思考方式是將圖1中的恆積函數，額外增加一個代表池中第三個代幣的軸。通過改變圖2的角度，兩個函數之間的相似性變得更加明顯。

由於Balancer池被設計成有2到8種資產，任意兩個代幣之間的交易價格報價就比較復雜了。池中的每一對代幣都有一個價格，這個價格取決於該特定代幣的余額B和權重W。從形式上看，交易執行的價格是按照代幣余額與代幣權重的比值來計算的。

在上面的公式中，代幣A代表被賣出的代幣（進入池子） 而代幣B是被买入的代幣（離开池子）。如果池子的持有者不改變資產儲備，很容易看出價格的變化完全基於交易，因為資產權重必須始終保持不變。這種機制與圖2所示的恆定面相結合，可以保證买入資產的價格上升，而賣出資產的價格下降。在與Uniswap相同的情況下，套利機會保證了Balancer Pools提供的價格與市場其他部分同步變動。

Curve

Curve是一個交易所流動性池，預期價格穩定的資產之間可以在該池裏進行高效交易（如穩定幣或封裝的比特幣（wrapped bitcoin））。Uniswap和Balancer主要是針對波動和價格不穩定的代幣的交易。然而，當處理那些想要互相保持穩定的資產之間的交易時，低價格滑點是最重要的。之前迭代的各種AMMs固有曲率就有問題了，因為交易規模越大，滑點就越大。

解決價格滑點問題的一個方法是，使用常數和函數作為AMM的內部交易機制。當使用兩種資產進行操作時，恆和（constant sum）做市商強制規定資產數量之和必須保持不變，並遵循以下函數：

如圖，一個雙資產恆和做市商是一條簡單的直线。

雖然這個函數的簡單性實現了低滑點，但它缺乏恆定產品做市商的關鍵屬性，即當任何一種資產從池子中流出時，池子總還會有流動性，而另一種資產的數量趨於無窮大。

為了解決這些問題，Curve通過結合恆定總和和恆定乘積函數創造了一種混合AMM：在曲线的平衡點附近創建一條相對平坦的曲线，類似於恆定總和函數，以保持價格相對穩定，同時使兩端更加傾斜，類似於恆定乘積函數，因此在曲线的每個點都有流動性。在雙資產的情況下（x和y），最終的結果是下面的復雜函數。

除了復雜的數學之外，請注意兩個常數函數是如何嵌入方程中的。左邊是常數和，右手邊是常數積。此外，公式中還包含了一些其他的項來達到預期的目的。在公式中，n代表資產數量（在本例中n=2），A是一個 "放大系數 "參數，它決定了函數與常積函數的相似程度。A的值越低，Curve的函數就越接近Uniswap的函數。

就像之前的CFMMs一樣，我們的目標是在x和y之間發生交換時保持k的值不變。繪制該函數會像這樣：

來源：Curve白皮書

從圖5中可以看出，Curve的函數在中間表現為恆定加和函數，但隨着x和y的值的變大，則變為恆定乘積函數。這種形狀使曲线中間段的價格保持穩定，同時又能在兩端提供流動性。

結論

在過去的幾年裏，AMMs通過以去中心化的、全球可訪問的和非托管的方式匯聚和提供流動性，它已經成為DeFi的重要組成部分。具體而言，Uniswap、Balancer和Curve等CFMMs獲得了巨大的增長和應用，交易量超過數十億美元。

自2017年以來，這些去中心化的交易所已經开發了恆定函數的各種變體，以解決特定的交易所問題。隨着該領域繼續擴大，涵蓋各種資產，為使交易更高效，交易所必須對底層功能進行大量思考。雖然這項技術仍處於早期階段，但它已經帶出了新的研究領域，更多的AMM設計將會出現，最終為所有DeFi用戶提供更好的流動性。

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