硬核：深入分析 TWAMM 做市商的數學原理

從數學角度論證和解釋 Uniswap 創始人與 Paradigm 研究團隊設計的全新做市模型 TWAMM 的工作原理。

最近，Paradigm 研究合夥人 Dave White、Dan Robinson 與 Uniswap 創始人 Hayden Adams 一起合作設計了一個全新的做市模型「時間加權做市商 TWAMM」（The Time-Weighted Average Market Maker）。根據其發表文章介紹，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大額訂單，工作原理是將長期大額訂單分解為無限多個無限小的虛擬訂單，在一定時間內使用嵌入式 AMM 平滑地執行這些交易。

關於 TWAMM 的虛擬交易所涉及的數學，Dave White 在文中並沒有多費筆墨，只在最後給出了非常簡單的數學結論，這對於理解 TWAMM 的數學原理非常不利。本文將重點對 TWAMM 的數學原理進行嚴格的論證和解釋，至於 TWAMM 模型詳細的設計原理，可以前往 Paradiagm 官網查看，本文不再做詳述。

定義

假設 TWAMM 執行大額虛擬交易需要 N 個區塊，出售 X 的池子以每區塊 x_rate 的速率出售，而出售 Y 的池子以每個區塊 y_rate 的速率出售。因此，在整個期間售出的 X 總量為 x_in=Nx_rate，售出的 Y 總量為 y_in=Ny_rate。

同時，我們將此時間段嵌入 AMM 的初始儲備 x_reserve 和 y_reserve 分別表示為 x₀=x_ammStart 以及 y₀=y_ammStart。

按照 TWAMM 的設計，大額訂單是隨着區塊進行交易的，每個區塊出售 x_rate 得到 y_out，或者出售 x_rate 得到 y_out，同時 AMM 會更新 x_reserve 和 y_reserve 的值，整個過程總共交易 N 次。

值得注意的是，AMM 的每個區塊交易總是遵循恆定乘積做市。

公式

首先，在執行第 n-1 區塊的交易後，我們假設此時 AMM 的 x_reserve 和 y_reserve 值分別為 x_n-1 和 y_n-1。

接下來執行第 n 區塊的交易，X-Pool 和 Y-Pool 分別向 AMM 輸入 x_rate 和 y_rate，命：

因為 x_rate 和 y_rate 非常微小，且區塊的交易 AMM 遵循恆定乘積做市商，我們可以得到，

化簡，

在得到 x_out,n 和 y_out,n 的值後，我們進一步可以獲得 n 區塊的交易後 AMM 的 x_reserve 和 y_reserve 值 x_n 和 y_n，

通過觀察，我們發現 x_n*y_n=x_n-1*y_n-1，這正好符合 AMM 的循恆定乘積做市的前提要求。

令， x_n*y_n=x_n-1*y_n-1=...= x₁*y₁=x₀*y₀=k，這是一個常數。

分式线性遞歸

先對 x_n 求得一般公式，並獲得 x_ammEnd=x_N 的值，y_n 同理。

y_n 的分式线性遞歸表達式如下：

解

首先，若 y_in 等於 0，x_in 不等於 0，則

而

計算得到，

而，

x_in 等於 0，y_in 不等於 0 時，討論同上。

若 x_in 和 y_in 都不等於 0，對於一般的分式线性遞歸，我們可以採用不動點的方法求解。

進一步計算，

極限

TWAMM 的基本假設是將長期大額訂單分解為無限多個無限小的虛擬訂單，也即是 N 可以取無窮大，這時候可以獲得 x_N 的極限值。

其中，

相似的，

最後，經過簡單的驗證 x_ammEnd*y_ammEnd=x_ammStart*y_ammStart=k, 依然滿足 AMM 的恆定乘積。

至此，我們完成了 TWAMM 的數學原理嚴格的論證和解釋，並得到了與 「時間加權做市商 TWAMM」 一文完全相同的結論。

撰文：luffy

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