Ed25519 是一個基於橢圓曲线的數字籤名算法，它高效，安全且應用廣泛。TLS 1.3, SSH, Tor, ZCash, WhatsApp 和 Signal 中都使用了它。本文主要講解以下幾點：

1. 介紹一點群論知識，目的是讓大家對 Ed25519 和其可延展性問題的原理有一種直覺。若想深入理解，還需參考其他資料；

2. 針對 rust 庫 ed25519-dalek 的 1.0.1 版本講解 ed25519 的實現；

3. 針對該庫的延展性問題做出解釋。

數學要點回顧

群的定義與性質

群論是抽象代數研究的內容，但抽象代數的一些思想是程序員非常熟悉的。面向對象中的繼承就是一個很好的例子，我們都知道子類繼承了父類後，就能使用父類中定義的方法。可以將抽象代數理解為對一個抽象的數據結構定義了一些性質，由這些性質推導出來的定理對於所有的子類都成立。

沿用剛剛的比喻，來看看群（group）這個數據結構是如何定義的。

由此可以推出許多有意思的定理：

舉幾個例子： 

被一筆帶過的群論術語

拉格朗日定理

現在介紹一個非常有意思的定理，這個定理的推導在文末引用的視頻中。

“群的階能被子群的階整除。”

為什么說這個定理有意思呢，不僅僅因為它的證明過程串起了剛剛介紹的許多知識，還因為下面的結論：

Ed25519 的實現

現在我們來講 Ed25519，它是 EdDSA 算法的其中一種。EdDSA 有 11 個參數（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032#autoid-3），這些參數的具體選擇對於算法的安全和性能有很大的影響。Ed25519 的具體選擇請參看鏈接（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032#autoid-9）。

另外，值得一提的是這套算法用到了一個叫 Curve25519（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc7748#autoid-5）的橢圓曲线。對於橢圓曲线，我們只需知道，它上邊有很多很多點，這些點相加能得到新的點，新的點還是在曲线上。這些點和這個加法能形成一個群。注意這裏的橢圓曲线加法（https://www.wikiwand.com/en/Elliptic_curve_point_multiplication）是有特殊定義的。

我們約定如下記法：

這是個交互式的算法，但是沒關系，有一個技巧叫做 the Fiat – Shamir heuristic（https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F3-540-47721-7_12），它可以把任意的交互式算法轉化成非交互式的算法。最終我們會用非交互式算法。

數字籤名算法都會給我們如下 API：

代碼地址（https://github.com/dalek-cryptography/ed25519-dalek/blob/97c22f2d07b3c260726b90c55cd45f34ec34a037/src/public.rs#L322-L355）

可延展性問題

密碼學算法的實現和使用都有非常多要注意的地方。當我們說一個數字籤名算法是安全的，一般指的是即使在攻擊者能夠獲得任意消息的籤名（Chosen Message Attack）的情況下，攻擊者仍然不能僞造籤名。Ed25519 滿足這個性質，但不代表 Ed25519 是絕對安全的。在原始的論文中也提到，可延展性問題是可以接受的，且原始的算法就有這個問題。

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